「札记」费马大定理

费马大定理

毕达哥拉斯撰造了一个名词“哲学家”（philo-sopher），与此同时规定了他的学派的目标。在一次出席奥林匹亚竞技会时，弗利尤斯（Phlius）的利昂（Leon）王子问毕达哥拉斯他会如何描述他自己，毕达哥拉斯回答道：“我是一个哲学家。”但是利昂以前没有听说过这个词，因而请他解释。 利昂王子，生活正好比这些公开的竞技会。在这里聚集的一大群人中，有些人受奖励物的诱惑而来，另一些人则因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来，但他们中间也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。 生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右，另一些人因热衷于权力和支配而盲从，但是最优秀的一类人则献身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方面都是很有智慧的，但是他能热爱知识，视其为揭开自然界奥秘的钥匙。

在现代数学中，零有两个功能。首先，它使我们得以区别52和502这样的数。在一个数的位置代表该数的值的体系中，需要有个记号来确认空着的位置。例如，52表示5倍的10加上2倍的1，而502表示5倍的100加上0倍的10再加上2倍的1，这里0对于消除含糊不清之处是关键的。甚至在公元前30世纪，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆，而希腊人则采用了他们的思想，使用了类似于我们今天所用的圆形记号。然而，零有着更为微妙和深刻的意义，这种意义在几个世纪以后才被印度的数学家们充分领会。印度人认识到零除了在别的数之间起空位作用外还有它独立的存在性——零本身理所当然地是一个数，它表示“没有”这个量。于是，“没有”这个抽象概念第一次被赋予一个有形的记号表示。 对当代的读者来说，这似乎是微不足道的一步，但是所有的古希腊哲学家，包括亚里士多德（Aristotle），却都否认零这个记号的深刻意义。亚里士多德辩解说，数零应该是非法的，因为它破坏了其他数的一致性——用零除任何一个普通的数会导致不可理解的结果。到了公元6世纪，印度数学家们不再掩盖这个问题，公元7世纪时的婆罗门笈多（Brahmagupta）是个足智多谋的学者，他把“用零除”作为无穷大的定义。

把新的数当做被“发现”出来的，这在现在看来是有点奇怪的，主要因为我们现在是如此地熟悉我们经常使用的这些数，以致忘记了这些数中的某些数曾有一段时间是人们不知道的。负数、分数和无理数都是被发现出来的，每一次发现这种数都是为了回答不这样就无法回答的问题。

数学在科学技术中有它的应用，但这不是驱使数学家们的动力。激励数学家们的是因发现而得到的乐趣，G. H.哈代在《一个数学家的自白》中试图解释并说明他自己从事数学生涯的理由： 我只想说，如果弈棋中的问题（用粗俗的说法）是“无用的”，那么对于绝大多数最出色的数学来说也同样是如此……我从未完成过任何“有用处”的工作。在我做出的发现中没有一个使世界的舒适方便发生过或者可能发生丝毫的变化，不管是直接的还是间接的，有益的还是有害的。从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零；在数学圈之外，它不管怎样是没什么价值的。我只有一种选择才能免得被裁决为完全无价值，那就是可以认为我创造了某些值得创造的东西。我创造了某些东西这一点是无可否认的，问题是它们有多大的价值。

解答某个数学问题的欲望多半是出于好奇，而回报则是因解决了难题而获得的单纯而又巨大的满足感。数学家蒂奇马什（E. C. Titchmarsh）有一次说过：“弄清楚π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的，但是如果我们能够弄清楚，那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚。”

哈佛大学的巴里·梅休尔（Barry Mazur）教授目睹了谷山－志村猜想的产生。“这是一个神奇的猜想——推测每个椭圆方程伴随着一个模形式——但是一开始它就被忽视了，因为它太超前于它的时代。当它第一次被提出时，它没有被着手处理，因为它太使人震惊。一方面是椭圆世界，另一方面是模世界，这两个数学分支都已被集中地但分别研究过。研究椭圆方程的数学家可能并不精通模世界中的知识，反过来也是这样。于是，谷山－志村猜想出现了，这个重大的推测说，在这两个完全不同的世界之间存在着一座桥。数学家们喜欢建造桥梁。” 数学中的桥有着巨大的价值。它们使生活在孤岛上的各个数学家社团能交流想法，探讨彼此的创造。数学是由未知海洋中的一个个知识孤岛组成的。例如，在那里有一个几何学家占据的孤岛，他们研究形状和形式；也有一个概率论的孤岛，数学家们在那里讨论风险和机遇。有着几十个这样的孤岛，每个孤岛上使用它们各自独特的语言，这种语言别的岛上的居民是不懂的。几何学的语言与概率论的语言有很大的差异，而微积分中的术语对于那些只讲统计学语言的人是没有意义的。

如果谷山－志村猜想是对的，它将使数学家们能利用通过模世界处理椭圆问题的方法来解决许多世纪以来未解决的一些椭圆问题。希望在于椭圆方程和模形式这两个领域能够统一起来。这个猜想也使人产生这样的希望：在其他的不同数学学科之间可能存在着连接的链环。 20世纪60年代，普林斯顿高等研究院的罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）被谷山－志村猜想所具有的潜力吸引。尽管这个猜想尚未被证明，朗兰兹相信它只不过是一个更为宏伟得多的统一化计划中的一个环节。他确信在所有主要的数学课题之间存在连接的链环，并开始寻找这些统一的链环。几年之后，许多链环开始涌现出来。所有的这些统一化猜想比谷山－志村猜想要弱得多，并且更为不确定，但是它们形成了由存在于许多数学领域之间的假设性联系组成的一个错综复杂的网络。朗兰兹的梦想是看到这些猜想一个接一个地被证明，最终形成一个宏伟的统一的数学。

一个高超的问题解答者必须具备两种不协调的素质——永不安分的想象和极具耐心的执拗。 ——霍华德·W.伊夫斯

在对论文的介绍中，刘维尔对为什么这位年轻数学家会被他的长辈们拒绝，以及他本人的努力怎样使伽罗瓦重新受到注意做了反思： 过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时，应该首先尽力避免这样做。事实上，当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时，清晰性是绝对必需的，就像笛卡尔说过的那样：“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上，而我们可以理解，这些杰出的数学家想必认为，通过他们审慎的忠告所表现的苛刻，设法使这个充满才华但尚无经验的初出茅庐者转回到正确的轨道上来是合适的。他们苛评的这位作者，在他们看来是勤奋和富有进取心的，他可以从他们的忠告中获益。 但是现在一切都改变了，伽罗瓦再也回不来了！我们不要再过分地作无用的批评，让我们把缺憾抛开，找一找有价值的东西…… 我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后，我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的，在那个瞬间，我体验到一种强烈的愉悦。

怀尔斯在牛顿研究所演讲后不到6个月，他的证明已破绽百出。多年的秘密演算给他带来的愉悦、激情和希望被烦恼和失望替代。他回忆说他童年的梦想已经变成一场噩梦：“在我从事这个问题的研究的头7年中，我很喜欢这种暗中进行的战斗。不管它曾是多么地艰难，不管它看上去是怎样地不可逾越，我与我心爱的问题密不可分。它是我童年时代的恋情，我绝不能放下它，我一刻也不想离开它。后来我公开地谈论它，在谈论它时确实有某种失落感。这是一种非常复杂的感情。看到其他人对证明作出反应，看到这些论证可能改变整个数学的方向，真是美妙极了，但是与此同时我却失去了我个人的追求。现在它已向世界公开，我已不再拥有我一直在编织着的个人的梦想。然后，在它出了问题以后，就有几十、几百、几千的人要使我分心。以那种过分暴露的方式做数学肯定不是我擅长的，我一点也不喜欢这种非常公开的做事方式。”

世界各地的数论家们对怀尔斯的处境表示同情。肯·里贝特自己在8年前也经历过同样的噩梦，当时他试图证明谷山－志村猜想和费马大定理之间的联系：“我在伯克利的数学科学研究所作了一个关于这个证明的演讲，听众中有人说：‘嗯，等一下，你怎么知道这样那样是正确的？’我马上答复并讲出我的理由，而他们说：‘那并不适合现在这个情形。’我顿时感到一阵恐慌，似乎感到有点出汗。我对此非常心烦意乱。然后我意识到只有一种做法有可能说明它是正确的，那就是返回到这个论题的基础工作，搞清楚它在类似的情形中是怎样完成的。我查阅了有关的论文，并弄清楚这个方法的确真的适用于我的情形。在一两天中我把所有的东西都搞好了，在我下一次演讲时我已能够讲出它成立的理由。尽管如此，你总是会担心：如果你宣布某个重要的结果，可能会被发现有基本的错误。 “当你发现原稿中有一个错误时，局势可能会以两种方式发展。有时候，大家会很快相信没有多大困难证明就可以重新改正；而有的时候情况会截然相反。这是非常令人不安的。当你认识到自己犯了一个基本的错误并且没有办法补救它时，会有一种往下沉没的感觉。当一个漏洞变大时，很可能定理真的就彻底地崩溃了，因为你越是想补上它，你遇到的麻烦就越多。但是从怀尔斯的情形来看，他的证明中的每一章本身就是很有意义的论文。这份手稿包括了7年的工作，它基本上是几篇重要的论文组合而成的，这些论文中的每一篇都有大量的成果。错误出现在其中一篇，即第三章中，但是即使你去掉第三章，剩下的部分仍然是绝对优秀的。”

不顾外界的压力，怀尔斯拒绝公开手稿。经过7年全力以赴的努力，他不准备垂手眼看着别人完成证明并攫取荣誉。证明费马大定理的人并不是投入心血最多的人；提交最终的完整的证明的人，才算是证明费马大定理的人。怀尔斯知道一旦手稿在还存在缺陷的情形下公开，他就会淹没在那些可能成为补缺者的人所提出的有待澄清的各种问题和要求之中，这些分心的事会毁灭他自己改进证明的希望，而同时却给别人提供了线索。 怀尔斯试图重新回到他做出原先那个证明时的孤独状态，恢复了他在自己的顶楼里认真研究的习惯。偶尔他也会在普林斯顿湖边闲逛，就像他过去所做的那样。那些以前经过他身旁时只简单地挥手致意的慢跑者、骑自行车者和划船人，现在都会停下来问他那个缺陷是否有所改进。怀尔斯曾在世界各地的报刊头版上出现过，《人物》杂志为他作过特写，甚至有线新闻电视网也曾采访过他。去年夏天怀尔斯成为世界上第一号数学名人，可是现在他的形象已经失去了光彩。

单靠岩沢理论不足以解决问题，单靠科利瓦金－弗莱切方法也不足以解决问题，它们结合在一起却可以完美地互相补足。这是怀尔斯永远不会忘记的充满灵感的瞬间，当他详细叙述这些时刻时，记忆如潮澎湃，激动得泪水夺眶而出：“它真是无法形容地美，它又是多么简单和明确。我无法理解我怎么会没有发现它，足足有20多分钟我呆望着它不敢相信。然后到了白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁指望搞清楚情况是否真是这样。情况确实就是这样。我无法控制自己，我太兴奋了。这是我工作经历中最重要的时刻，我所做的工作中再也没有哪一件会具有这么重要的意义。”

怀尔斯意识到，为了把数学中最杰出的证明之一献给数学，他不得不使它丧失一个最迷人的谜：“人们对我说我夺走了他们想要解决的问题，他们问我是否我能给他们别的事情做做。确实有一种失落感。我们失去了曾经与我们相处这么长时间的某种东西，那种把我们中许多人引向数学的东西。也许这是研究数学问题必然会经历的过程。我们必须找到能吸引我们的新问题。” 尽管怀尔斯现在已经解决了数学中这个最著名的问题，但是世界上的解谜者们无须失去希望，因为还有大量未解决的数学难题。这些艰深的问题中有许多像费马大定理一样起源于占希腊的数学，并且中学生都能理解。